Alberto Ginulfi nasce nella Capitale il 30 novembre 1941. Proveniente dal quartiere di San Lorenzo, cresce sportivamente nella Roma. Nel 1959 conquista il titolo di Campione d'Italia con la squadra delle giovanili.

A lungo portiere di riserva del club giallorosso, cresce alle spalle di Cudicini e Pizzaballa per conquistare la casacca giallorossa numero 1 nella stagione 1969/70, all'età di 28 anni. Per quattro stagioni è l'estremo difensore della porta romanista. Viene lanciato dal tecnico Helenio Herrera che in prima persona si oppone ad una sua cessione alla Fiorentina.

Portiere titolare della Roma in occasione della vittoria della seconda Coppa Italia e della clamorosa eliminazione contro il Gornik in Coppa delle Coppe.

Sicuramente l'aneddoto che segnò la carriera del portiere romano fu un rigore parato a Pelé durante un'amichevole della Roma contro i brasiliani del Santos. La sua agilità gli valse il soprannome de "il gatto del Cupolone".
Concluderà la carriera calcistica a Firenze dopo aver giocato anche una stagione al Verona. Negli anni 80 torna alla società giallorossa in veste di preparatore dei portieri.